В значении счет «денежный документ; разряд финансовых операций» возможны варианты: на счёте и на счету. В значении счет «действие» правильно: на счету.
Возможны оба варианта, выбор часто зависит от контекста.
См. вопрос 273811.
Правильно: подписать (несколько, ряд, папку) счетов-фактур.
См. «Горячие вопросы».