Оба варианта грамматически корректны.
Запятая не нужна.
В качестве заголовка корректно: Глава третья. Солнечный день
В иных случаях: глава третья, "Солнечный день".
Скорее всего, не нужна, но возможны нюансы в определенном контексте.
Возможно грамматическое согласование в мужском и женском роде.
Обстоятельство — в яркий солнечный день.
Запятая перед что не нужна.
Название Солнечный согласуется с определяемым словом: в микрорайоне Солнечном.