Правильно: благодарность объявляется семье Ивановых.
Лучше написать: Дорогие Ивановы! Но грамматически возможно: Дорогая семья Ивановых!
При слове семья фамилия употребляется в форме родительного падежа: семья Ивановых. То же во множественном числе: семьи Ивановых, Петровых.
Правильно: произвести расчет с Ивановым.
Правильно: Владивосток, как и семья Ивановых, был вовлечен в это.
Корректно: Фотография из семейного архива Ивановых — Петровых — Сидоровых, предоставлена А. А. Сидоровым.
Фамилия склоняется: клиентом Ивановым.
Правильно: улица Братьев Ивановых. В названиях улиц, площадей, переулков, проспектов и пр. с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, площадь и т. п.), а также слов года, лет.