Правильн: забирать ребенка из садика.
Такой оборот возможен в разговорной речи.
Садить – народно-разговорный вариант. Нормативно и стилистически нейтрально: сажать.
Оба варианта пунктуации корректны, но тире лучше лучше подчеркнет логические отношения между частями высказывания.
Запятая не нужна (если развивающая навыки – название отдельной группы, а не определение к слову логопедическая).
Выбор предлога зависит от контекста. В значении "с физико-математического факультета" верно: с физмата.