Словари
присаживать(ся), -аю(сь), -ает(ся)
ПРИСАЖИВАТЬСЯ, присаживаюсь, присаживается \\ [п]рисаживаться; присаж[ə]ваться и допуст. присаж[ы]ваться; в формах с сочетанием м[с’]: присаживаемся... – присаживае[м]ся; в форме присаживался – присажива[л]ся; в формах с сочетанием ющ: присаживающийся... – присажива[йу]щийся и присажива[и]щийся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.
Ответы справочной службы
1. Неясно, о каких именно "древних" словарях Вы пишете. Из приведенной Вами словарной цитаты следует, что: 1. Глагол садить (заголовочное слово) имеет стилистическую окраску как народно-разговорное слово; 2. Значения глагола садить совпадают (=) со значениями глагола сажать — именно в этой словарной статье их и следует искать.
2. Прошу садиться — стандартная этикетная формула. См. о садиться и присаживаться на https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/slovar-trudnostey/prisazhivatsya-i-saditsya
Справочники
Вопрос Как правильно: присаживайтесь или садитесь при обращении к посетителю? Присаживаться - присесть – сесть на короткое время или в недостаточно удобной, спокойной позе, в отличие от садиться (ср. также часто встречающееся присаживайтесь поудобнее). Нейтральная форма при обращении к посетителю садитесь, но допустимо употреблять и форму присаживайтесь, хотя она имеет разговорный оттенок. Желание избежать формы
...Присаживаться - присесть – сесть...
Журнал
В справочную службу Грамоты пишет недоумевающий пользователь: «...Меня резко поправили, когда я спросила „кто последний“ (в очереди), сказали, что в русском языке так говорить не принято, а нужно „кто крайний“». На самом деле все как раз наоборот. Неправильно спрашивать в очереди «кто крайний» и не стоит, предлагая гостю сесть, говорить «присаживайтесь» (грамотно «садитесь»).
...В справочную службу Грамоты пишет недоумевающий...
...вид садиться) глаголом присесть (несовершенный вид присаживаться...
...Да и потом, почему я должна «присаживаться...
