Правильно: при поддержке государства.
Правильно: благодарить кого-либо за поддержку чего-либо, в чем-либо.
Правильно: прошу вашего содействия, прошу вашей поддержки.
Корректно: ...по поддержке мероприятия.
Оба варианта верны, выбор может зависеть от контекста.
Нет, в таком высказывании содержится ошибка лексической сочетаемости.