Корректно: По прохождении всех установленных законом процедур лечебное учреждение будет введено в эксплуатацию.
Правильно: по прохождению (чего?) подготовки.
Верен первый вариант.
Заявление пишется в свободной форме. Рекомендации по оформлению заявлений см. в рубрике "Письмовник" на нашем портале: Как писать заявление?
Верно: О прохождении стажировки Ивановым.
Корректно: студентом.
Оба сочетания корректны.
Правильно: инструктажа.
Корректно: самых достойных студентов мы рекомендуем для прохождения практики в общественном объединении.
Лучше: в образовательном органе.