Корректен дательный падеж: действия по достижению цели.
Правильно: по достижении цели (в значении «после достижения»).
Из этого списка предлоги: в силу и в соответствии.
Выбор формы зависит от контекста. Если имеется в виду "когда (кто-либо) достигает совершеннолетия", то верно: по достижении совершеннолетия.
Сочетание деятельность по достижению цели не вполне корректно. Лучше сказать: деятельность, направленная на достижение цели.
Верно: по достижении (= после достижения), в нарушение (=нарушая), в обосновании (в обосновании содержится ошибка) и в обоснование (=обосновывая).
В значении "когда достигнет" верно: по достижении.
50-е годы – это годы с 50 до 60 какого-либо столетия, 60-е годы – годы с 60 до 70 какого-либо столетия. Применительно к XX веку 50-е годы – с 1950 по 1960, 60-е годы – с 1960 по 1970.
Дело в том, что первые десять лет какого-либо столетия не называются десятые годы; десятые годы – это годы с 10 по 20 какого-либо столетия. В то же время первые 10 лет жизни человека – это первый десяток, поэтому по достижении 50-летнего возраста говорят: пошел шестой десяток.
В значении "после достижения" - "по достижении".
