Оба сочетание верны и употребляются в речи.
Оба варианта возможны.
Правилен второй вариант.
Оба варианта правильны.
Правильно: избежать ошибки. Глагол избежать управляет родительным падежом.
В обсуждаемом случае корректен вариант ошибка в дизайне.
Мы не выполняем домашние задания.
Возможны оба варианта, предпочтителен второй.
Если ошибки связаны с выбором неправильного падежа (и, как следствие, неправильной буквы), то это грамматические ошибки. В иных случаях - орфографические.