Верно: остаться на сколько захочу (на определенное время); остаться насколько захочу (в определенной степени, в зависимости от желания).
Возможны два варианта в зависимости от смысла. На сколько означает 'на какое количество граммов или килограммов', а насколько – 'в какой мере'.
Если в состав подлежащего входит слово, обозначающее неопределенное множество (много, немного, мало, несколько и т. п.), то сказуемое чаще употребляется в единственном числе: Сколько звездочек упало? Однако в наше время нормативной стала и форма множественного числа сказуемого при таких оборотах (согласование по смыслу), которая подчеркивает активное действие и относится к подлежащему со значением лица: Несколько классов пришли/пришло мне на помощь.
Эти сочетания неверны. Правильные варианты: как много, так много.
Большой толковый словарь
Корректный вопрос: Сколько времени?