Правильно: заведующий кафедрой.
Верен второй вариант.
Корректно: заведующий (чем?) ответственной кафедрой.
Верно: заведующий – чем? – кафедрой.
В строгой деловой речи (в контекстах, где на первое место выдвигается сообщение о должности или занятии независимо от пола называемого лица) выбирается мужской род. Например, в приказе: заведующим кафедрой назначена... В обиходной письменной и тем более устной речи предпочтительна форма женского рода.