Правильно: Московская городская дума.
Названия агломераций пишутся с большой буквы.
Название в кавычках не склоняется. Правильно: главному врачу ГБУЗ «Самарская городская больница», направлен в ГБУЗ «Самарская городская больница». Ср.: художественному руководителю театра «Современник» (не *театра «Современника»).
Орфографически верно: городская дума. Однако в официальных текстах нередко можно встретить такое написание: Московская городская Дума. Оно принято в официальных документах, хотя противоречит орфографическим нормам.
См. ответ № 281058.
В таких названиях должна употребляться строчная буква (ср.: школа № 415, детский сад № 25).
Правильно: Астраханская городская дума, городская дума и дума. Слово Дума пишется с прописной буквы, если оно употребляется вместо сочетания Государственная Дума.
Слово да не склоняется, поэтому и название склонять не следует: Я иду в "Да", купил в "Да".
Запятые не требуются.