Сочетание "делать прививку" корректно.
См. вопрос 272627.
См. ответ на вопрос № 287298.
Правильно: прививать, делать прививку.
Сделать прививку, укол – нейтральный, общеупотребительный вариант. Поставить прививку, укол – профессионализм, характерный для речи медиков.
Это профессионализм медиков. В литературном языке: делать прививку.
Прививку делают.
Сделать прививку, укол – нейтральный, общеупотребительный вариант. Поставить прививку, укол – профессионализм, характерный для речи медиков.