Как название исторической эпохи - Новейшее время (с прописной буквы).
Корректно со строчной: галерея Растрелли в Эрмитаже.
Следует писать со строчной.
Предложение Владимир Зельдин в заглавной роли в спектакле "Учитель танцев" вполне корректно. Заглавная роль — это роль персонажа, который указан в заглавии пьесы. Чаще всего это действительно имя собственное (заглавная роль в романе "Анна Каренина"), однако обозначен он может быть и иным способом (заглавная роль в сериале "Идиот").
Все названия должностей здесь пишутся с маленькой буквы. Поскольку это начало абзаца, с большой буквы следует писать только первое слово: Главный инженер — первый заместитель генерального директора.
Правильно: попугай Кеша (ср.: кот Васька, собака Каштанка). Слово попугай не является частью имени.
Правильно: он окончил институт по специальности «инженер».