Название пишется в кавычках, первое слово - с большой буквы. Третий вопрос не совсем ясен. Верно: «Академия фитнеса», «Академии фитнеса» и так далее.
Правильное написание: фитнес.
Верно дефисное написание.
Правильное написание — через дефис: фитнес-леди. Первая часть сложных слов фитнес-... присоединяется дефисом.
Это корректная фраза (в значении "занимаюсь фитнесом регулярно").
Корректно: конгресс-холл, фитнес-центр, бизнес-центр.