Верно: В игру "Веселая катапульта" были внесены... В непринужденной разговорной речи допустим вариант: В "Веселую катапульту" были внесены... Название игры обязательно заключается в кавычки.
Верно: Я приехал в город Москву.
Верно: поеду в город Москву. Но лучше в этом предложении слово город не употреблять: Поеду в Москву.
Правильно: в город Москву.
В город Москву.
Правильно: командировка в город Москву.
Склоняются: в город Москву, в город Белокуриху. См. в Горячей десятке вопросов.
Верно: в город Москву. См. в «Письмовнике».
См. «Письмовник».