У слова "третий" основа оканчивается на -j (то есть все слово - основа), а в косвенных падежах основа звучит как "третьj". Поэтому верно: третье, третья, третьего и т. д.
Подробности здесь: http://rusgram.narod.ru/1315-1341.html
Правильно: третье декабря, третьего декабря.
Оба варианта возможны.
Если слово включительно отсутствует, то сочетание до 1-го числа может быть истолковано двояко (1-е число включается во временной интервал / 1-е число не включается в интервал).
Верно: в третьем классе.
Предложение можно понять и так и так.
Поэтому, чтобы избежать разночтений, в документах лучше использовать формулировку до 15 числа включительно.