Корректно: школа № 1.
Корректно: школа города Шатуры.
Это сочетание пишется со строчной буквы, ср.: детский сад, школа, институт, издательство. Например: В поселке не было дома престарелых, но две школы и полтора детских садика были. Однако это сочетание может употребляться как индивидуальное название конкретного учреждения, например: Дом этот открыли после войны, назывался он при основании Дом престарелых.
См. ответ № 205758.
Верно: работает в ГБОУ Школа.
Слова с первой частью онлайн пишутся через дефис (см. словари): онлайн-школа.
Следует писать слитно: демосайт, демоурок.
В таких названиях должна употребляться строчная буква (ср.: школа № 415, детский сад № 25).