Дополнение выражено отвлеченным существительным, поэтому ставится в родительном падеже: отец не проявляет желания уделить время ребенку. Зависимое слово не влияет на выбор формы.

Сопоставление различающихся сведений о сочетаемости слов обычно служит основой для дальнейших наблюдений. Очевидно, что при этом стоит уделить внимание смысловым особенностям высказываний, стилистическим характеристикам текстов и семантике самого слова бакалавриат, а возможно, и социолингвистическим факторам.

На Ваш интересный вопрос могут быть даны два ответа — один краткий, а другой развернутый, объемный. Краткий ответ сводится к суждению «это может зависеть от того, что конкретное подразумевается под неким что-то». Развернутый ответ, опирающийся на наблюдения и анализ обширного языкового материала, предполагает описание разных что-то и типичных сочетаний со словом апогей в случаях, когда имеется в виду определенное что-то. Воспользуемся компромиссным вариантом ответа — статистическим. Найденные цитаты, в которых использован глагол являться в сочетании с именем существительным апогей, единичны. Вне всякого сомнения, это весьма красноречивый показатель, а следовательно, автору стоит уделить особое внимание высказыванию, в котором нечто он называет апогеем.