Оба варианта корректны.
Дартс – склоняемое существительное. Правильно: соревнования по дартсу.
Оба варианта верны.
А какие основания для кавычек?
Предлог из антонимичен предлогу в, а предлог с — предлогу на. Правильно: на всероссийские соревнования, поэтому: со всероссийских соревнований.
Возможны оба варианта. При этом сочетание соревнование по уборке урожая означает, что соревновались в том, кто лучше соберет урожай. А вот сочетание соревнование на уборке урожая, строго говоря, означает, что во время уборки урожая происходило какое-то соревнование (возможно, боролись за звание самой веселой бригады).
Корректно: 43-и международные соревнования.