Правильно: слезы навернулись на глаза.
Правильно: попрощавшись, слезы спрячу в глубине.
Все три варианта корректны.
Мы рекомендуем не употреблять это слово в литературной речи. Лучше всего заменить его словом мольбы.
Правильно: оставлены не Ивановым и не Петровым; не оставлены ни Ивановым, ни Петровым.
Да, винительный падеж. Чтобы это проверить, достаточно подставить слово первого (по школьной грамматике) склонения, где окончания родительного и винительного падежей различаются: следы привели девочку на поляну.
Оборот сдержать слезы достаточно распространен. Сочетание остановить слезы, хоть и реже, но все же встречается в классической литературе: И внезапно каким-то необыкновенным усилием воли Женька так же неожиданно, как расплакалась, так и остановила слезы (А. И. Куприн. Яма), «Нет, нет, я всё сделаю, ― сказала она, вдруг остановив слезы, ― я так счастлива!» (Л. Н. Толстой. Война и мир).