Такое употребление возможно, если слово слёзы используется в переносном значении "сожаления": В конуре своей изограф Акимыч — трактирный завсегдатай — торопливо малюет на вывеске окорока и колбасы, чтобы в положенный час сесть с графинчиком в положенном уголку — и лить слезы о пропитой жизни [Е. И. Замятин. Русь (1923)].
Корректны оба варианта, однако более употребителен второй: Глаза мои пусты, слезы не проронить.
Правильно: на глаза навернулись слезы.
Правильно: слезы навернулись на глаза.
Правильно: попрощавшись, слезы спрячу в глубине.
Оба варианта верны.
Обе запятые нужно поставить.