Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.
По правилам тире не требуется. Но возможно авторское (интонационное) тире.
Корректно (в разговорной речи): экскурсия на природу. Но: экскурсия в лес, в парк.
Если имеется в виду "на прогулке за городом", то верно: на природе.
Памятник природы — официальный термин, он широко используется.
Правильно: сия (ж. р. от сей).
Правильно: ее величество природа.
Верные варианты: 249 моих жизненных сил, мои 249 жизненных сил.