Возможны и варианты с ударением на основе, и варианты с ударением на окончании: нет по́ста/поста́. 

Среди значений прилагательного детский есть 'предназначенный для детей' (примеры сочетаний: Д-ая книга. Д-ая мебель. Д-ая одежда. Д. театр. Д-ая телепрограмма. Д-ая площадка), а среди значений прилагательного взрослый — 'предназначенный для взрослых' (примеры сочетаний: В. фильм, спектакль. В. билет. В-ые туфли). Соответственно, зубную пасту (и зубные пасты как сорта, разновидности этого вещества) тоже можно назвать детской или взрослой. Следует при этом заметить, что значение 'предназначенный для взрослых' у прилагательного взрослый сопровождается стилистической пометой разг., тогда как прилагательное детский ни в каком из значений таких помет не имеет.

Лучше: разные виды пасты. Первый вариант звучит немного комично.

Правильно: мосты, посты. Русское ударение не фиксированное (как, например, во французском языке или в польском), оно подвижное и разноместное, в разных словах (и даже формах одного слова) может падать на разные слоги. Аналогии и рассуждения «если правильно... то должно быть ...» к ударению в русском языке неприменимы, в спорных случаях надо обращаться к орфоэпическим словарям.

Ошибка в использовании соотносительного слова "того": того философа, которыми...

Грамматических ошибок нет. Но нужно поставить запятую: Заглядывая в новогодные посты в блогах, заметил, что примерно половина людей пишут название праздника с ошибкой.

Использование кавычек зависит от контекста. В случае, если требуется подчеркнуть употребление слова в переносном значении, могут использоваться кавычки.

Поскольку слово разговорно-просторечное, то и рекомендаций относительно ударения нет. Допустимо: поста, посту, о посте.