В первом примере корректно без запятой, во втором запятая возможна для смыслового выделения.
В этом слове выделяется постфикс -ся, а что касается -ть, то его можно выделить как суффикс или как окончание (в лингвистике нет единой позиции по этому вопросу: некоторые языковеды считают -ть суффиксом, некоторые – окончанием; в школьной практике -ть чаще выделяют как суффикс).
Правильно: может проводиться.
Оба варианта могут употребляться в профессиональной речи или публицистических текстах.
Правильно: будет проводиться проверка.
Сказуемое в Вашем предложении — был готов провалиться сквозь землю. Фразеологизм принято рассматривать как один член предложения, так как он представляет собой цельное по смыслу сочетание слов.
Верно: при таком-то поле.
Верно: будет что делатЬ? проводитЬся.
Указанная запятая нужна.
Вопрос на засыпку — такой вопрос, который может поставить кого-либо в неловкое положение, выявить его незнание чего-либо. У глагола засы́паться есть разговорное значение 'не сдать экзамена, обнаружив незнание; провалиться (на экзамене)'.
