Корректно: ...не открою Америку.

Верно: пол Северной Америки.

Правильно: Северная и Южная Америка.

Верно: Северная и Южная Америка.

Корректно: не открою Америку.

Корректно: для материка Северная Америка.

Такого правила не существует (точнее, оно может быть изобретено в редакции газеты, но не будет соответствовать нормам русского правописания). Названия высших государственных должностей (неважно, своей страны или чужой) пишутся с большой буквы только в текстах официальных документов (Указ Президента Российской Федерации). В газетном тексте правильно: президент России и президент Украины или президенты России и Украины.

Управление зависит от контекста: объявить импичмент (кому?) президенту (управляет глагол, дат. п.); процедура импичмента (кого?) президента (управляет существительное, род. п).