Правильно писать «Прошу предоставить отпуск в количестве 42 календарных дней».
 

Представить — дать, вручить для ознакомления, осведомления или официального рассмотрения, заключения. Предоставить — дать возможность кому-либо обладать, распоряжаться, пользоваться чем-либо (предоставить слово, предоставить отпуск).

Таким образом, по смыслу подходит глагол представить, хотя фраза представить тетрадь на проверку звучит слишком официально. Тетради на проверку всё-таки обычно сдают.

Существительное ставится в форме единственного числа: ...продолжительностью 21 календарный день.

1. Верно без запятых и без тире.

2. Склонять название организации после упоминания ее организационно-правовой формы не нужно.

1. Правильно раздельное написание: материально ответственное лицо.

2. Предоставить – передать, дать возможность распоряжаться (например: предоставить отпуск – дать возможность использовать отпуск); представить – предъявить, показать, продемонстрировать (например: представить результаты своей работы).

В этом предложении не следует писать отдельно.

Верно: предоставить отпуск Будаю.

Местоимения Вы, Ваш пишутся с прописной буквы только в следующих случаях: а) как форма выражения вежливости при обращении к одному лицу в личных письмах и официальных документах (служебных записках, заявлениях и др.); б) в текстах, предназначенных для многократного использования: анкеты, листовки и др. (адресат – неконкретное лицо). С прописной буквы пишется местоимение Ваш в сочетаниях Ваше Величество, Ваше Высочество.

Выделение запятыми местоимения Вы во фразах, начинающихся словами Прошу Вас... (предоставить отпуск, рассмотреть вопрос и т. д.), – частая пунктуационная ошибка. Причина вот в чём. Носители языка смешивают два правила, в которых встречается слово обращение. Первое правило приведено выше («местоимение Вы пишется прописной буквы при обращении к одному лицу...»). Второе правило, которое помнят со школы: «обращение выделяется запятыми». Подвох в том, что слово обращение употребляется в этих правилах в разных значениях. В первом случае значение данного существительного – действие по глаголу обратиться – обращаться; во втором случае обращение – лингвистический термин (слово или словосочетание, называющее лицо или предмет, к которому обращена речь). Подробную инструкцию по борьбе с этой ошибкой см. в ответе на вопрос № 249535.

Верно: прошу предоставить отпуск согласно графику отпусков.

См. образец заявления.