Все перечисленные варианты корректны.
Правильно: пойду в "Школьник".
Это простое глагольное сказуемое (пойду) с обстоятельством цели (посмотреть). В составных глагольных сказуемых вспомогательный глагол может иметь или фазисное значение (фаза действия: начал, продолжает, прекратил, бросил и т. п.), или модальное значение (отношение субъекта действия к самому этому действию, обозначенному инфинитивом: хочу посмотреть, мечтаю посмотреть, учусь играть и т. п.). Других значений у него быть не может. Глагол пойду не обозначает ни фазы действия, ни отношения субъекта к действию.
Зато конструкция пойду в театр посмотреть новый спектакль допускает введение целевого союза: пойду в театр, чтобы посмотреть новый спектакль. С составными глагольными сказуемыми такая операция невозможна:*начал, чтобы читать книгу, *захотел, чтобы учиться играть на гитаре — бессмыслица.
Корректно: пойду пылесосить, пойду пропылесошу.
Верно: Можно я пойду попить воды?
Верно: поеду в город Москву. Но лучше в этом предложении слово город не употреблять: Поеду в Москву.
Правильно: Пойду посмотрю «Звездные войны».
Корректно: Вода выходит в пойму.
