Предлоги из и с редко бывают взаимозаменяемыми, чаще всего замена одного другим – либо ошибка, либо просторечие. В Вашем примере также следует использовать только предлог из.

К сожалению, нам не удалось выяснить, какое из этих сочетаний выступает в качестве терминологического в спортивной гимнастике.

У этих сочетаний разный смысл. Обмен почтой – от обменяться почтой. Обмен почты – от обменять почту (на что-то).

Правильно: обмен мнениями.

Считаем вариант возможным, однако с дательным падежом: служба здоровью.

Верно: подъем плеч, отведение плеч.

Верно: Не пойман - не вор.

Вторая фамилия склоняется, в первом варианте склоняется только мужская фамилия.

Домен – группа узлов Интернета, объединенная по тематическому, географическому принципу, принадлежности частным лицам или организациям и т. п., входящая в иерархическую структуру Сети; часть адреса ресурса, отделяемая точками и определяющая область его регистрации.

Правильно: (нет) палет. Ср.: лопата – лопат.