Оба варианта верны.
Поздравлять нужно "со строчной буквы": с днем рождения.
Наращение (буквенное падежное окончание) используется, если нет слова год или сокращения г. Ср.: это было в 2020-м, это было в 2020 году, это было в 2020 г.
Правильно: на Украину.
Верно: подровнять газон.
Запятые стоят верно.
Указанная запятая нужна, это сложное предложение.
В данном случае можно после глагола подставить вместо одушевленных неодушевленные существительные, которые будут отвечать на вопрос "что" (это признак винительного падежа). Кроме того, указанные глаголы - переходные, а значит, они управляют винительным падежом.