В этих словах представлен корень с чередованием чет(чес)/чит. В словах с таким корнем пишется буква и при наличии суффикса -а-, в остальных случаях пишется е.
Указанная запятая не требуется, так как в этом предложении нет повторяющего союза, а есть союз не только... но и и союз и.
Орфографически и грамматически корректно: факт непроживания. Обратите внимание: приведенный Вами оборот — канцелярский.
Правильно: на въезд в город и проживание в нем (в городе).
Корректное прочтение фразы: проживание более чем в восьми тысячах пятистах отелях (с существительным отель сочетается количественное числительное пятьсот — последняя часть составного числительного). То же и с цифровой записью: проживание более чем в 8500 отелях.
Пунктуация верна. Однако построено предложение небезупречно.
Это вставная конструкция, в ней есть отдельная грамматическая основа — называют. Вставные конструкции выделяются скобками либо парными тире: Филумения (так называют собирание спичечных этикеток) может быть интереснее собирания марок; Филумения — так называют собирание спичечных этикеток — может быть интереснее собирания марок.
