Сочетание песенное искусство не ошибочно, его можно употреблять.
Верно: был найден 41 фрагмент.
Имя собственное может выражаться словосочетанием. Но в Ваших примерах именами собственными являются только слова Тихий и Северное.
Слитное написание вместо раздельного — это орфографическая ошибка.
Специального правила для склонения названий пещерных городов Крыма, конечно, нет. Есть общие закономерности склонения и практика употребления. Названия Тепе-Кермен и Бакла склоняются, см., например, статьи в «Большой российской энциклопедии» «Крым» (ср. близ Эски-Кермена) и «Бакла».
Склонение (точнее, управление падежом названия Домодедово) корректно.
Первое слово пишется с прописной: Северное полушарие.
Жительницы Ярославля – ярославки (в единственном числе: ярославка). Это единственный возможный вариант, зафиксированный в словарях.