С исторической точки зрения это однокоренные слова. 

В слове коса в знач. 'заплетенные волосы' ударение в форме винительного падежа падает на о. Если слово коса употреблено в знач. 'сельскохозяйственное орудие', возможно: кОсу и косУ (предпочтительно косУ). Именно это и зафиксировано в нормативных словарях. Разве что "Большой толковый словарь русских существительных" и "Большой толковый словарь русского языка" указывают, что форма винительного падежа слова коса в значении "заплетенные волосы" может иметь ударение косу и косу, однако ориентироваться при выборе ударения следует всё же на орфоэпические словари и словари трудностей. 

Правильно слитное написание: Над головой хрипло орали невидимые за листьями птицы. Здесь нет влияющего на раздельное написание творительного действующего лица (не видимые мною) или творительного орудия действия (не видимые глазом). 

В «Русской грамматике» (М., 1980) в структуре слова будильник выделяется словообразовательный суффикс -льник-. Основанием для этого является то, что -льник- прибавляется за один словообразовательный шаг: буди(ть) – буди/льник/. Ср.: паять – паяльник, спать – спальник, светить – светильник. Эти существительные относятся к одному словообразовательному типу. Они называют предмет (орудие, приспособление), предназначенное для выполнения действия, названного мотивирующим словом.

Однако выделение суффикса -ник- тоже имеет некоторые основания. Этот суффикс в том же значении мы находим в других словах (например, плавать – плавник). Это дает возможность считать словообразовательной морфемой суффикс -ник-, а -ль- (звук, не обладающий собственным значением) – звуковой прослойкой между морфемами (такие части слова в науке называют интерфиксами или инфиксами). 

Заплести кОсу – правильно. В слове коса в знач. 'заплетенные волосы' ударение в форме винительного падежа падает на о. Если коса в знач. 'сельскохозяйственное орудие', возможно: кОсу и косУ (предпочтительно косУ).

Гол как сокол – страшно беден, ничего не имеет. Есть несколько версий происхождения оборота. По наиболее распространенной, сокол здесь (с ударением на последнем слоге) – старинное стенобитное орудие из чугуна или железа в форме длинного и толстого бревна или бревно, окованное металлом. Его навешивали на железных цепях и, раскачивая, прошибали им самые прочные крепостные ворота и каменные стены. Поверхность сокола была гладкой, «голой».