Корректно: посредством оперативной связи (телефонной связи).
Корректно дефисное написание: оперативно-выездная бригада.
Действительно, нужно выбрать какое-то одно слово.
Запятая перед придаточной частью нужна: В предоперационном эпикризе не указано, в каком порядке проводится оперативное лечение.
Слово объект, будучи неодушевленным существительным, может сочетаться с количественным числительным (например: два, три, четыре) и не может сочетаться с собирательным (например: двое, трое, четверо). Подробнее о сочетаемости с числительными см. в «Письмовнике».
Пунктуация корректна.
В значении "соответствуют запросам" - удовлетворяют нашим запросам.
Запятая не нужна, но лучше изменить порядок слов: Основная задача — оперативное решение вопросов, волнующих жителей региона.
Следует поставить запятую перед словом чтобы.