Корректно: Неосмотренными остались несколько дворов, их осмотр решили провести после перерыва.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Правила рубрицирования текста есть в "Письмовнике" на нашем портале.
Нужна запятая перед союзом и, соединяющим части сложного предложения.
Слово ремонт не следует использовать в форме множественного числа. Верно: провести ремонт объектов.
Запятые не требуются.
Запятая не ставится.
Знаки препинания расставлены верно. Запятая ставится между частями сложного предложения.