Правильно: 2-этажный дом.
Домашний, домовый, бездомный, домовитый, одомашненный...
Если имеется в виду дом, в котором жил Пушкин, то правильно с маленькой: дом Пушкина.
Правильно: 16-этажный дом.
Оба варианта возможны.
Это выражение не будет вполне корректным синонимом к "дому престарелых".
Правила правописания не регламентируют этот вопрос. Как собственные наименования предпочтительно писать с прописной: дом Семьи, дом Договоров и т. д.
Слово дом в знач. 'модный дом' или 'ювелирный дом' лучше писать с маленькой буквы.