Да, мужская фамилия Дока склоняется.
В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант.
Правильно: ни виться.
Правильно: если начнет литься кровь.
2. Правильно: на травУ, на дОску.
Это название пишется через дефис.