Существуют оба слова, их употребление различается.
В значении "выплата, выдача" - уплата премии.
Слово обещание употребляется в сочетаниях с разными существительными — с предлогами и без предлогов. Возможно и обещание об оплате, и обещание оплаты. Словосочетание обещание по оплате допустимо в устной разговорной речи.
Верно: уплата взноса.
Правильно: плата за что-либо, оплата чего-либо.
Верно: оплата звонка, плата за звонок.