Произведем несложный синтаксический разбор. Главное слово сочетания — день, от него задаем вопросы к зависимым словам и ставим их в нужную форму: день чего? — рождения, день какой? — красивый. Итог: красивый день рождения. О склонении сочетания день рождения см. ответ на вопрос № 249988.
Нормативно: день рождения. В разговорной речи возможно: день рожденья (тот самый, который "только раз в году").
Варианты различаются стилистически: отмечать день рождения – общеупотребительный, стилистически нейтральный вариант, справлять день рождения – разговорный.
Правильно: у нее день рождения.
Верно: пиратский день рождения.
Лучше в ед. ч.