В этом случае деепричастный оборот можно изъять из предложения или переставить в другое место без разрушения структуры предложения, поэтому его нужно отделить запятой от союза.

Запятая нужна, так как после союза что начинается деепричастный оборот: Мы понимаем, что, только объединив усилия, мы сможем преодолеть испытания.

В предложении два варианта постановки знаков препинания, но деепричастный оборот в обоих случаях следует обособить:
1) Туристы (...) замерли в восхищении, затаив дыхание (деепричастный оборот не находится непосредственно после глагола, позиция обстоятельства образа действия занята сочетанием в восхищении);
2) Туристы (...) замерли, в восхищении затаив дыхание (деепричастный оборот называет дополнительное действие).

Предложение построено правильно. Деепричастие несовершенного вида может употребляться при глаголах-сказуемых в форме любого времени.

Запятая нужна.

Деепричастный оборот, в начале которого стоят частицы только, лишь, интонационно не отделяется от предшествующей части предложения (при чтении пауза перед ним не делается), но запятая перед ним обычно ставится: Понять это произведение можно, только учитывая условия его создания; Выучить иностранный язык можно, лишь постоянно занимаясь им.

Но (при тесном слиянии оборота со сказуемым): Они встретились только будучи уже взрослыми.

Сочетание так тихо, судя по всему, характеризует действие, названное деепричастием насвистывая. Если так, то запятая перед ним не нужна.

Увы, предложение не корректно. Деепричастный оборот всегда называет действие, выполняемое названным подлежащим субъектом. В обсуждаемом варианте это метод. Следовательно, это метод не боится совершать ошибки.

Деепричастный оборот может входить в состав придаточной части, но в приведенном примере он находится в главной.

Такое употребление допустимо, ср.: Передвигали мебель, освобождая зал (Б. Л. Пастернак).

Обе фразы корректны.