Глагол обезболить является переходным: обезболить кого? что? Переходные глаголы с общим значением ‘сделать каким-либо’ относятся ко второму спряжению и в инфинитиве оканчиваются на -ить. Непереходного глагола *обезболеть в литературном языке не существует.

Корректно: Детско-юношеские спортивные школы плавания (далее — спортивные школы).

Запятые в скобках нужны, они выделяют придаточную часть.

Корректно: В любом случае, если я приду, то вечером. Однако лучше: Если я приду, то в любом случае вечером.

Приведенное Вами предложение, увы, грешит невнятностью — невозможно понять, к чему относится конструкция сады, цветы.

В справочниках рекомендации на этот счет нам не встречались, однако полагаем, что лаконичные указания типа Были разведаны месторождения Первое, Второе, Третье (Якутия), Четвертое и Пятое (Магаданская область) едва ли вызовут недоумение читателей.

Запятая в скобках не нужна. Для выражения значения неожиданного присоединения можно поставить тире: Завтра схожу на собеседование, ещё неделю-другую подожду — и, надеюсь, начну работать уже.

Несогласованное определение родом из русского фольклора действительно воспринимается как пояснение к согласованному определению восходящих к архетипам древности. При этом нужно изменить порядок слов, поскольку причастие восходящих относится к обеим частям, сопоставляемым с помощью сочетания с одной стороны..., с другой...: В. А. Чернышев вывел своеобразную систему координат, в которую поместил двенадцать типажей, восходящих, с одной стороны, к архетипам древности, родом из русского фольклора, с другой — к архетипам юнгианской школы (о них чуть ниже).

Это вставная конструкция с пояснительным союзом.

Структура предложения говорит о том, что указанные в скобках запятые не нужны. Рекомендуется поставить тире перед частью, несущей в себе оттенок присоединения: Как и миссис К., я тоже сомневалась в том, счастливы ли эти люди — и если да, то на чем строится их счастье и долго ли оно продлится.