Верно:
— Цычжоу рядом с северо-восточным трактом; плохо, если округ попадёт им в руки. Принять меры, — он заметил, что собеседник задремал, и договорил шёпотом, — нужно заранее.

В этом предложении между частями отношения логического обоснования, во второй части автор подтверждает фактом (ничего не забываю) тезис, выдвинутый в первой части (я создан глупо).

Тире поставлено правильно.

Вероятно, это ошибка составителей задания. См. параграф 130 «Правил русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина:

«В бессоюзном сложном предложении ставится тире: <...> если вторая часть предложения начинается словами так, это, только, такой: Я как дождь влетаю в самые узкие щелочки, расширяю их — так появляются новые строфы (Ахм.); Алена вздохнула прерывисто — так вздыхает наплакавшийся ребенок (Ток.); Луну точно на веревке спускали сверху — такая она была близкая, большая (Шукш.); ...С какой жадностью ни вглядывайся в синюю даль, не увидишь ни точки, не услышишь ни звука — так точно люди с их лицами и речами мелькают в жизни и утопают в нашем прошлом  Ч.); Вдруг он услышал пение — это пела прабабушка (Пан.); Я подобрал и осмотрел его маузер — это была отличная машина, и совсем новая (Пелев.); А Никитич может рассуждать таким манером хоть всю ночь — только развесь уши (Шукш.); Черемуха была крупная, в длинных и чистых, без листа, тяжелых гроздьях — только успевай подставляй под них руки (Расп.)».

Употребление двоеточия уместно: оно ставится, если вторая часть бессоюзного сложного предложения имеет значение причины, обоснования, что проверяется возможностью подстановки союзов так как, потому что: Ну на дискотеке с таким прикидом лучше не появляться: неправильно поймут.

Запятая стоит правильно, а вот вторая часть названия пишется с прописной: Зелёный патруль, или Как помочь нашей планете.

В этом предложении в качестве цитат приводятся законченные фразы, две из трех — со знаком конца предложения, а потому уместно начать каждую из них с прописной буквы. Между элементами перечислительного ряда наиболее уместна запятая, тем более что в предложении очевидным образом создается эффект «нагнетания» связанных с матерью воспоминаний. Запятую рекомендуем поставить и между однородными дополнениями к глаголу говорила, так как между глаголом и дополнениями сильное управление: Она говорила о матери, о тех фразах, что слышала с детства...

Да, нужна ещё одна запятая — перед союзным словом когда.

Вторая часть предложения неполная, и тире в ней ставится.

Если вторая часть бессоюзного сложного предложения имеет значение изъяснительное, между частями ставится двоеточие: Мы доказали: это возможно.