Верно: стереть с лица (например, краску). Устойчивый оборот речи: стереть с лица земли (уничтожить).
Оба варианта правильны: движемся и двигаемся.
Поскольку в предложении нет глагола, к которому могло бы примыкать деепричастие (а деепричастие не обособляется, если непосредственно примыкает к глаголу и имеет значение образа действия), запятая обязательна: Вперед, не плача!
Как правило, инициалы пишут после фамилии в алфавитном (пофамильном) списке, в других случаях – перед фамилией.
Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен.
Обстоятельство к успеху уточняет обстоятельство вперед (напомним, что уточнение — это сужение понятия), поэтому запятая нужна: Вперед, к успеху!
Корректно: умереть с голоду (разг.), умереть от голода.
Спряжение определяется в данном случае по личному ударному окончанию: глядЯт, велЯт.