В названиях улиц, площадей, переулков, проспектов и пр. с большой буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, площадь и т. п.), служебных слов, а также слов года, лет. Правильно: улица Левый Берег, улица Первооткрывателей Башкирской Нефти.
Да, с большой: Южный берег Крыма.
Дело в том, что в высказывании Берег размывает волнами никак не выражен субъект действия (кто размывает?).
Оба варианта верны.
Корректен вариант с родительным падежом.
Лучше: дни рождения филиалов на правом и левом берегу.