Следует писать слитно, со строчной буквы: незнайка.

Верно: Сестра теряет терпение и, будучи суетливой, бежит навстречу.

Мужскую фамилию Темит необходимо склонять.

Пунктуация корректна.

Скорее всего, не нужен. Но при подчеркивании восклицательной интонации - возможен.

В приведенной Вами цитате нет родственных слов.

Запятая ставится, если у слов изумленная и охваченная любопытством есть дополнительный оттенок причины ("бежит за кроликом, потому что изумлена и охвачена любопытством"). Если такого оттенка нет, запятая не нужна.

Пожалуйста, проверьте по словарям.

Глагол бежать и соответствующие приставочные глаголы (побежать, забежать и т. д.) в школе называют разноспрягаемыми. Они образуют все формы, кроме формы 3 л. мн. ч., по II спр.: бегу, бежишь, бежит, бежим, бежите; а форму 3 л. мн. ч. – по I спр.: бегут.