Корректно: Вы можете сказать «нет» этому безобразию и сказать «да» новым веяниям.

Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова». 

Постановка запятой не требуется.

Если по правилам нужно сделать рисунок на бумаге, кавычки не требуются.

Строго говоря, мина — это выражение лица, и сочетание мина на лице избыточно. Однако на практике такое употребление закрепилось и вошло в словари. Оба предложения следует считать корректными.

Дело в том, что повтор союза в простом предложении не всегда означает последовательное перечисление однородных членов предложения. В приведенном Вами примере первый союз И соединяет первое сказуемое (был танцором) с парой последующих сказуемых (врезался и ожег). Тот факт, что второе и третье сказуемое образуют смысловую пару, подтверждается тем, что именно с этими сказуемыми соотносится деепричастный оборот. Схематически это можно изобразить так: (был танцором) И (врезался И ожег).