Если банк называется «Москва», правильно: управляющему банком «Москва». Если имеется в виду «Банк Москвы», правильно: управляющему «Банком Москвы».
Предпочтительно в большинстве контекстов: управляющая банком.
Сочетание заключить проект некорректно. Заключить можно договор, соглашение, а проект — согласовать.
Кавычки не требуются: борьба самбо, борьба дзюдо.