Корректно: год Обезьяны.

Корректно: ...мальчику из Африки.

Оба сочетания возможны.

Оба способа переноса возможны.

Такие сочетания невозможны. Собака – существительное женского рода. Правильно: моя собака, наша собака, вне зависимости от пола животного.

Да, эти сочетания пишутся с прописной буквы.

Да, формально это так.

Специальных названий нет, следует использовать описательную конструкцию: детеныш опоссума, детеныш обезьяны, детеныш песца и т. д. Правда, детеныша песца можно назвать и щенком, ведь песец – млекопитающее семейства псовых, а щенком называют детеныша не только собаки, но и волка, лисы и др. псовых.

Допустимы все три варианта. Они отражают разную интонацию при произнесении. 

Корректно: Орган местного самоуправления обязали компенсировать моральный ущерб, причиненный укусом бездомной собаки.