В разговорной речи допустимо: нет баклажан, пюре из баклажан. Но строгая литературная норма: нет баклажанов, пюре из баклажанов.
Следует склонять: жители города Абакана.
Верны оба варианта, однако предпочтительно: баклажанов.
В устной речи допустимо: из баклажан. На письме лучше: из баклажанов.
Мужская фамилия Бажан склоняется. Корректно: Артёму Бажану.