Правильно: то ли манго, то ли авокадо; не то манго, не то авокадо.

Вы расставили знаки правильно. На стыке союзов но чтобы в начале предложения запятая не ставится. Придаточные части, соединенные союзом и разделять запятой не нужно, так как они однородны. Обратите внимание, из предложения нужно убрать лишнее слово: Но чтобы решить, являются ли они таковыми и можно ли без них обойтись, по-прежнему нужен человек или Но чтобы решить, точно являются они таковыми и можно ли без них обойтись, по-прежнему нужен человек.

Частица навряд ли зафиксирована в словарях. Она допустима в текстах как элемент разговорного стиля.

В этой конструкции повторяющийся сочинительный союз то ли соединяет однородные придаточные части сложноподчиненного предложения с союзом чтобы (главная часть — она надела капюшон). В подобных случаях запятая между сочинительным и подчинительным союзом (союзным словом) не ставится: ...она надела капюшон. То ли чтобы укрыться от дождя, то ли чтобы скрыть улыбку. Сравним пример из пункта 5 параграфа 119 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: Глубокой осенью, собравшись вокруг костра, мы с удовольствием вспоминали, как недавно в этих местах мы собирали грибы и ягоды, и как приезжали к нам в гости друзья из города, и как всем было весело и беззаботно.

В предложении нет грамматических ошибок, то есть случаев некорректного согласования, управления и т. д., однако союз или в пояснительном значении здесь выглядит стилистически неудачным, поскольку в предыдущей части предложения уже есть разделительный союз ли...или, связывающий элементы другого сочинительного ряда. Кроме того, представляется неточным использованное здесь слово противопоставление. Рекомендуется отредактировать предложение, например: Гораздо важнее было, произносится ли текст или поётся, то есть принадлежит он к книжной или к народной словесности.

Сочетание мало ли может вносить значение предположения, а соответственно, выступать в роли вводного сочетания (нужны запятые). Но сочетание мало ли может употребляться в качестве наречия, обозначающего обстоятельственные признаки (запятые не нужны).